Основными вопросами при любой форме обучения являются следующие:

1. Какова цель обучения, чему необходимо научить студента;
2. Как должна быть устроена система знаний для эффективного обучения; Какими общими свойствами она должна обладать независимо от предметной области и состава обучаемых;
3. Как оценивать отдельные знания и как оценивать целостную систему знаний;
4. Как правильно построить процесс обучения от исходных знаний к заключительным;
5. Как обеспечить контроль за усвоением знаний
6. Как организовать управление учебным процессом.

Теория обучения должна отвечать на эти вопросы. И если для традиционного способа обучения получить ответы на эти вопросы лишь желательно, то при Интернет- обучении это обязательное условие.

Проблема обучения будет рассматриваться как часть более общей проблемы получения, структурирования, передачи и преобразования знаний, что позволяет применить научные методы, основанные на системном анализе и математическом моделировании.

Необходимо построить формальную теорию компьютерного обучения, которая обеспечит создание работающих электронных курсов. Предлагаемая формальная теория строится как совокупность математических моделей - структурной модели учебного материала (раздел 1) и модели оценки знаний (раздел 2), на которых затем строится методика обучения. Основные положения этой методики изложены в публикациях.

Предложенная теория учитывает реальную логику в структурных моделях знаний, и позволяет сделать механистическую алгоритмичность электронных средств обучения более интеллектуальными и обоснованными.

Структурная модель учебного материала.

Введем конечное множество , где - обучающий блок (-блок) соответствует порции учебного материала и пару отношений на Е, которые являются отображениями.

1) - отношение непосредственной связности по информации (выводимости) блока из блоков .

2) - отношение детализации знания , которое "состоит из" знаний .

Определение 1. Структурной моделью учебного материала называется тройка , где Е множество учебных блоков, a - отношение информационной связности, b - отношение детализации.

Свойства отношений информационной связности таковы, что -блоки образуют сцепления, которые имеют начальные блоки и конечные (целевые) блоки . Образно говоря, знания имеют источники , промежуточные (выводимые) знания и конечные (целевые) , связанные сетью передачи потоков знаний от источников к целевым обучающим блокам, поэтому модель знаний <Е, a , b > называется потоковой структурой знаний (Knowledge Flow Structure - KFS).

Граф знаний и обучающий кластер.

Обучающие -блоки связываются в сеть KN (Knowledge Net) следующим образом. Каждой вершине KN сопоставляется единственный -блок. Каждой дуге KN соотносится маркер, который является кодом формулы (описания) соответствующего знания, заключенного в учебный блок. Далее маркеры обозначаются большими буквами латинского алфавита.

Исходя из того, что -блок определяет отображение, введем понятие формулы вывода.

Определение 2. Формулой вывода называется выражение вида

, (1)

где - входные, поставляемые в блок (исходные) знания, а В - выходные (целевые) знания, полученные в результате процедуры обучения (вывода), "R " обозначает некоммутативную операцию "следует".

Каждый -блок имеет единственный выход и потому именем блока может служить маркер исходящей от него дуги. Все исходящие из -блока дуги имеют одинаковый маркер. Формула (1) читается так: знание В является следствием процесса научения из знаний .

__________________________ формула вывода

Рис 1. Логический блок обучения и его формула вывода

Определение3. Граф KN есть конечный граф для отношения , где - -блоки, и - есть дуга связи с маркером (принадлежащем блоку , из которого она исходит).

Граф KN обладает следующими постулируемыми свойствами:

• асимметричностью
• ацикличностью

Граф KN конечен, имеет множество входных вершин (типа ) и единственную выходную вершину (типа ). Вывод целевых знаний реализуется системой формул вывода вида (1) для каждой из его вершин, исключая входные.

Граф показывает, из каких составляющих и как складывается целевое знание. Он закладывает основу методики построения учебного материала, диалектического единства группировки и выделения, обобщения и дифференциации знаний. Для построения графа KN выполняются следующие процедуры:

1. Отбор есть определение множества логических порций обучения, имеющих законченный смысловой характер, они названы -блоками.
2. Группировка знаний около -блока в виде логических формул вывода , где "В" есть "сумма" знаний, выведенная из составляющих знаний "".
3. Связывание

-блоков в логические обучающие кластеры при помощи подстановок знаний в системе формул.

На графе KN логически выделяются завершенные подмножества - кластеры.

Определение 4. Обучающим кластером называется направленный граф KN, вершины которого размечены -блоками, дуги В - маркерами знаний, каждой вершине соотнесена формула вывода и каждая вершина (-блок) кластера выводима из начальных знаний, либо является начальным знанием (типа ).

Таким образом, кластер обладает свойством полной выводимости. Свойство кластерности или полной выводимости является необходимым свойством активного электронного учебника. При отсутствии полной выводимости нельзя построить процесс контроля знаний и управление процессом обучения. Процесс вывода определяется деревом вывода, оно строится по логическим формулам.

Определение 5 . Непосредственная окрестность логического блока задается формулой

(2)

Формула (2) получается из логической формулы . Стрелки "R " в правой части формулы (2) соответствуют дугам графа KN и помечены маркерами знаний.

Предложение 1. Система формул типа (2) для графа KN определяет подграф, являющийся деревом, который обладает свойством полной выводимости, и, поэтому, является кластером. 

а) Граф KN

Формулы вывода для -блока

б) Дерево вывода кластера

Рис. 2. Граф KN и дерево вывода для обучающего кластера.

Доказательство конструктивно и следует из свойств выражения (2) и свойств кластерности графа KN.

На рис.2 представлено дерево вывода для графа KN. Дерево отражает свойство полной выводимости каждого -блока в кластере обучения.

Система формул, определяющая дерево вывода в граф KN на рис.2а приведена ниже.

(3)

Отношение детализации знаний b постулируется как отношение разбиения на составляющие -блоки. Составляющие -блоки получаются в результате операции разбиения b , которая задается выражением

(4)

где - -блок, подлежащий разбиению на детальные (составляющие) блоки -

Понятно, что разбиение (детализацию) можно продолжать как угодно глубоко, применяя рекурсивно операцию b ко вновь полученным блокам. При этом учитывается следующее свойство: если , то для постулированного отношения разбиения. Таким образом, блок , входящий в блок , не может входить в другие блоки.

Введем формальную процедуру детализации:

1) начальный слой детализации называется нулевым, если на нем находится единственный блок ;

2) если имеется блок на j-м слое детализации, то составляющие его блоки , полученные операцией разбиения b , считаются находящимися на j+1-м слое детализации.

Процедура детализации по своей природе неоднозначна, т.е. отражает логику построения учебного материала тем или иным преподавателем, или даже одним и тем же преподавателем, но для различных контингентов обучающихся. Число слоев детализации вообще не ограничено и никак не связано с психологической сложностью слишком "мелкой" детализации. -блоки на самых нижних слоях детализации (с самым большим индексом "j") могут быть элементами конспекта учебника.

Предложение 2. При разложении, соблюдающем кластерность на каждом j-ом слое, порожденный (терминальный) граф KN будет также кластером.

Ярусно-параллельная форма представления графа KN

До сих пор модель знаний была ориентирована на логику связи отдельных -блоков. Оказывается важным при построении учебного материала учитывать и логическую независимость (несвязность) знаний. Независимость -блоков в графе KN позволяет строить различные варианты последовательностей изложения учебного материала и выбирать из них наилучшие с точки зрения преподавателя и обучающегося.

Определение 6. Ярусно-параллельной формой (ЯПФ) графа KN называется частичное упорядочение вершин по уровням, на которых расположены независимые по логическим связям -блоки так, что на 0-м уровне расположены входные знания, а на последнем целевое знание.

На рис.3 показаны две различные ЯПФ для графа KN, который состоит из двух -блоков и , которые являются кластерами и соответственно их объединение тоже является кластером. Как видно из рисунков, ЯПФ состоит из 8 уровней (ярусов), на 0-м уровне входные знания (), на последнем, 7-м уровне - целевое знание. На каждом уровне расположены независимые знания. ЯПФ (рис. 3а) и ЯПФ (рис. 3б) отличаются друг от друга различным расположением независимых вершин по уровням.

Можно себе образно представить, что по ЯПФ идет фронт обучения, сначала изучаются входные знания, затем знания 1-го уровня и т.д., до целевых знаний на последнем уровне, причем последователь изложения знаний на каждом из уровней произвольна. Совокупность независимых знаний на каждом уровне ЯПФ названа логическим уровнем. Таким образом, фронт обучения пробегает последовательность логических уровней обучения.

Все связи в ЯПФ разбиты на два класса:

1. непосредственные связи, которые "передают" знания с предыдущего уровня на последующий;
2. отложенные связи, указывающие на полученные ранее знания, которые студент должен помнить (или ему должны напоминать), пока эти знания будут использоваться при прохождении фронта обучения.

Для фиксирования этих двух типов связей в ЯПФ предусмотрены соответствующие поля (рис.3).

а)

б) 

в)

Рис.3. Ярусно-параллельная форма графа KN.

Количество непосредственных и отложенных связей и их соотношения могут служить очень важными характеристиками для построения последовательности обучения для различных контингентов обучаемых. Одной из характеристик графа знаний, важной для психологической оценки процесса обучения, является коэффициент забывания - l , значение его равно сумме количества уровней, которые пронизывают все отложенные связи при движении фронта обучения (на рис.3 они отмечены "*", количество "*" в ЯПФ определяет значение коэффициента забывания l ).

Планирование учебного процесса

ЯПФ графа знаний уже дает план учебного процесса, т.е. последовательность прохождения учебного материала фронтально по логическим уровням. Но, при фронтальном обучении остается неопределенной последовательность изучения, что неприемлемо для построения компьютерного курса. Далее вводятся ЯПФ - формы графа знаний, рассчитанные на линейную последовательность (цепочку) порций, когда на конкретном логическом уровне находится заранее "заказанное" количество -блоков, которые мы будем теперь называть логическими блоками, привязанными строго к номеру логического уровня. Такие ЯПФ будут называться n-процессорными разложениями, где количество логических блоков на каждом из уровней равно или меньше n. Понятие "процессор" тождественно в данном контексте обучаемому, осваивающему учебный материал.

На рис.3 в построено 1П (процессорное) - разложение графа знаний из блоков и . Можно заметить, что полученный план последовательности "подачи" материала обладает не очень хорошими характеристиками. Если связать каждый логический уровень с уроком, то использование "свежих" знаний, полученных на предыдущем уроке, чрезвычайно мало (количество непосредственных связей равно 5, отмечены на рис.2в жирной линией). Самая длинная отложенная связь - знание , полученное на 3-м уроке, а последнее его использование предполагается на 7-м уроке (коэффициент забывания l =5).

На рис.4б и 4в показаны планы для 1П - разложения графа с ЯПФ, приведенной на рис.3а. Пример иллюстрирует, что для одного и того же графа знаний могут быть получены различные планы (различные расписания) последовательности подачи учебного материала, которые отличаются характеристиками "протяженности" логических связей между логическими блоками, расположенными на разных уровнях.

На рис.4г приведено 2П (процессорное разложение) того же графа знаний (рис.4а). Заметим, что двух и более процессорное разложение характерно для группового обучения, например, в деловых играх, когда каждый член команды (процессор) исполняет определенную роль с собственными логическими блоками. Например, (для рис.4г), роль процессора такова, что ему необходимо иметь знания логических блоков . Роль ведущая, т.к. цепочка содержит целевое знание. Роль процессора вспомогательная, он передает свои знания (например, в результате решения некоторой задачи) ведущему процессору .

Планирование групповых деловых игр - чрезвычайно сложная задача, где наиболее успешно могут применяться процессорные разложения из теории параллельных вычислительных процессов.

Практически не исследована проблема "отложенных" знаний. Раздел формальной дидактики, связанный с построением учебных планов, открывает психологам, занимающимся процессом обучения, возможность варьирования планов и их научных оценок по сложности и протяженности логических связей в учебном материале.

Методы оценивания знаний

В принятых методах оценки знаний обычно оцениваются целевые знания. Оценка полностью доверяется преподавателю. Даже при компьютерной оценке тестов, построенных по принципу меню (выбор одного правильного ответа из нескольких), когда оценка двухбалльная (указан правильный ответ - 1, указан неправильный ответ - 0), на долю преподавателя приходится составление контекста неправильных ответов (с оценкой 0) окружающих правильный ответ (с оценкой 1).

Для системы обучения через Интернет автор строит две модели формального оценивания знаний на основе процедуры свертки оценок, изначально проставленных "электронным" преподавателем в виде оценок каждого логического -блока (их можно назвать терминальные оценки) либо терминальных оценок, полученных в результате дистанционного диалога. Приведенные методы оценок базируются на подходе автора к оценке сложных систем, в частности, оценок качества программных комплексов.

Процедуры оценок достаточно просты, основаны на структурных характеристиках KFS-модели учебного курса и, насколько известно автору, не встречались в педагогической теории и практике.

а)

б)

в) 

г)

Рис.4. Планирование процесса обучения по графу знаний в ЯПФ: а),б),в) - планы для одного обучающегося. г) - план обучения для бригады из двух обучаемых.

Модели оценивания знаний с учетом коррекции многослойной детализации

Модель представляет собой процедуру вычисления оценки логического блока , расположенного на i-м слое, по оценкам его детализации, расположенных на нижнем i+1 слое. На i-м шаге итерации - , где Q - функция свертки, - оценки, вычисленные на предыдущем шаге итерации.

На нулевом шаге итерации для нижнего подробного слоя детализации (i=s) оценки логических блоков представляются преподавателем в виде: .

Таким образом, результирующая оценка блока , находящегося на 0-м уровне детализации, оценивает обобщенное знание всего материала учебного курса.

Модели оценивания знаний в одном слое детализации с учетом коррекции по графу знаний KN

Каждая вершина в графе KN есть логический блок, считается, что целевые знания каждого блока оценены преподавателем независимо друг от друга, без учета всей сложности их взаимосвязей. Обычное усреднение всех оценок и приписывание усредненной оценки целевому значению очевидно, не дает справедливой оценки всего графа знаний, т.е. не учитывает логические связи в графе знаний и не меняет оценки нецелевых блоков. "Справедливая" оценка должна учитывать все оценки блоков, влияющие на целевой блок в дереве вывода целевого знания. Процесс коррекции можно определить как процедуру, состоящую из отдельных актов коррекции для каждой вершины дерева, начиная от целевой (выхода блока), при проходе по логическим уровням до входных вершин.

Смысл "справедливости" такой модели оценивания состоит в следующем. Оценка заключительного (целевого) знания должна каким-то образом корректировать оценки, проставленные в процессе последовательного изучения цепочки логических блоков, предшествующей целевому логическому блоку.

Вводится процедура коррекции для любой пары соседних логических блоков цепочки вывода , где логический блок выводится из логического блока , а - функция коррекции.

Выбор вида функции коррекции определяет различные модели "справедливых" оценок прохождения учебного курса.

В программированном обучении проверка знаний позволяет обучаемому двигаться по блок-схеме учебного процесса, либо при невыполнении еще раз возвращаться к пройденному материалу. Процесс обучения в этом случае называется возвратным (Restudy - обучением). Работа в KFS модели, где процесс обучения не является одномерным, а проходит некоторым распределенным фронтом через логические уровни сети знаний, требует некоторого расширения понятий алгоритмической блок-схемы обучающей программы.

Модели обучения, учитывающие логические связи в KFS

Условия ветвления блок-схемы программы обучения разбиты на две составляющие:

а) R - условия выходного контроля, как это делается в классическом программированном обучении, которые реализуют процесс restudy;

б) U - условия входного контроля, которые не дают возможности начать новый блок обучения, если обучающийся не обладает необходимыми знаниями. U-условие и соответствующие тесты становятся просто необходимыми в реальном компьютерном обучении, где должны фиксироваться отложенные знания. Преподаватель, разрабатывающий курс, должен поставить охраняющие U-условия, исходя из состава контингента обучаемых и их психологической неоднородности.

Общая программа обучения состоит из нескольких составляющих.

а) Программа (последовательность логических блоков в процессе обучения) есть граф, "вершинами" которого являются логические блоки, дуги суть отношения непосредственного следования. Логические связи обычно "спрятаны". Программа размечена логическими блоками верхнего слоя, начинается блоком и заканчивается ;

б) Программа с возвратами для повторного обучения (restudy). Каждый логический блок "охраняется" входным(и) и выходным контролем (U и R), условиями (предикатами), размечающими дуги возврата. Возвраты локализованы в пределах одного слоя, знаком (*) отмечены условия продолжения обучения.

в) Программа с штрафной посылкой на i+1-й слой детализации для детализации знаний.

Программа (блок-схема) обучения стратифицирована, т.е. проходит через слои детализации. "Спуск" программы в более детальный слой и "подъем" на нужный уровень обобщения производится конструктором процесса обучения с помощью расстановки необходимых R-условий и соответствующих тестов.

KFS-модель курса позволяет строить различные типы схем программ обучения. Заметим, что n-процессорные программы (на рис.5 показана двухпроцессорная программа) для обучения на деловых играх обладают наибольшей сложностью реализации в связи с асинхронностью процессов и требуют обязательного подключения специальной программы-арбитра.

- условие if-else, нарушающее совместное знание по выходному критерию

- условие if-else, нарушающее совместное знание по входному контролю

Рис.5. Конструирование программы обучения для бригады из 2-х студентов. Фрагмент взаимных возвратов.

Структура возвратов restudy в программах обучения при контроле выходов логических блоков обучения

Процесс тестирования предполагает построение логики restudy в программах обучения. Связи возврата должны быть означены тестами. Такое означивание названо семантикой сети KN. Было введено два типа условий restudy:

1. R - условия возврата по выходному контролю,
2. U - условия возврата по входному контролю.

Процесс тестирования для выполнения этих двух условий конструируется в виде простых автоматов. Правила автоматов отражают структуру возвратов для различных типов контроля. Для обучающих кластеров, где блоки обучения разнесены по слоям детализации, возвраты restudy выходного контроля имеют вложенную структуру, соответствующую дереву детализации.

Для входного контроля строится специальная ЯПФ, которая названа обращенной и затем доказывается предложение о том, что обращенные связи по знаниям KFS задают возвраты по условиям контроля входа. Для тестов выбраны очень простые правила выполнимости, характерные для так называемых финальных тестов. В работе не рассматриваются сложные функции выполнимости, зависящие от оценок знаний, их важности и различных группировок.

Для обучающего кластера верно следующее предложение.

Предложение 3. Древовидная детализация на кластере KFS индуцирует отношение вложенности в 1П-разложении на этом же кластере и вложенности возвратов.

Определение 7. Отношением вложенности на блок-схеме программы обучения называется разделение ее на фрагменты, такие, что каждый фрагмент состоит из подфрагментов, в которых последний блок в подфрагменте всегда целевой.

Отношение вложенности позволяет сделать экономную структуру возвратов restudy.

Определение 8. Полным набором возвратов (и соответствующих им тестов) называются множество связей, возвращающих от каждого терминального блока ко всем предшествующим.

Предложение 4. Число полного набора связей (тестов) возврата

Для таким образом построенной программы, имеющей кластеризованную KFS-модель, можно строить тесты и соответствующие связи возвратов, контролирующие только вложенные друг в друга блоки, тем самым минимизируя количество тестов.

Структура возвратов restudy в программах обучения при контроле входов в логический блок обучения

Входной контроль должен контролировать входные знания, с которыми ученик продолжает обучение в некотором логическом -блоке. Каждое входное знание должно содержать соответствующий тест, выполнение которого позволяет удостовериться о наличии этого знания у ученика. Понятно, если все входные тесты выполнены, то условие входа в -блок тоже выполнено и можно перейти к обучению в -блоке.

Для входного контроля удобно представить сеть KFS в виде специальной ЯПФ, где связи по знаниям представляют обратную функцию к отношению "a ". Это позволяет эффективно строить семантику контроля знаний.

Семантические карты контроля

По сути дела, семантические карты контроля представляют собой матрицы, описывающие алгоритм (блок-схему) обучения. Столбцы и строки матрицы идентифицированы терминальными -блоками. Каждой клетке матрицы может быть соотнесена связь возврата по правилу:

- если такая связь есть, - предыдущий блок, - последующий, тестирует блок , и не выполняется - если такой связи нет.

Карты контроля являются некоторой модификацией матричной структуры алгоритма (МСА).

Карты называются семантическими в связи с тем, что, в отличие от МСА, связям соответствуют тесты, невыполнение которых вызывает процесс restudy.

Автоматы контроля для семантических карт

Для принятия решения - пропустить или не пропустить ученика на следующий блок обучения - необходимо выполнить в общем случае набор тестов.

Как правильно выбрать последовательность применения тестов, принять обоснованное решение - эти вопросы рассматриваются при построении формальных автоматных конструкций.

Автономный автомат возвратов restudy для семантической карты контроля выходов

Понятно, что тестирование должно выполняться в линейном порядке от тестов нижнего слоя детализации к самому верхнему. Иной порядок увеличивает число проходов и общее количество изучаемых блоков в процессе restudy.

Кластер может тестироваться минимальным набором тестов, это вытекает из следующего предложения.

Предложение 5. Линейная последовательность тестов для кластера, упорядоченная по слоям детализации от нижнего слоя к верхнему (целевому знанию кластера), дает наименьшее число проходов restudy.

Автономный автомат является конечным автоматом с неизменным входом и, для нашего случая, реализует замкнутую (циклическую) последовательность состояний с выходами.

Выделяется состояние (конечное), которое имеет выход с условием выполнения (разрешения) прохода на следующий блок обучения или допуска к блоку обучения.

Автономный автомат возвратов restudy для семантической карты контроля входов

Автомат работает над последовательностью тестов. Отношение линейного порядка может задаваться различным способом в зависимости от важности связи, ее сложности и т.д. Далее рассматривается упорядоченность по коэффициенту забываемости l , который характеризует удаленность входного знания, выведенного "давно" в других блоках l уровней назад.

Таким образом, если учебный курс сформирован на основе KFS модели, то процесс обучения на таком курсе может быть индивидуален. Путь изучения, в том числе повторение пройденного, определяется результатами входного/выходного контроля знаний учебных блоков для каждого обучающегося. При этом следует подчеркнуть, что модель KFS дает такую уникальную возможность, и дело разработчика курса использовать ее или нет, и если использовать, то в какой мере.